ТРИКУТНИК
Трикутник і його елементи
Нехай А, В, С - три довільні точки, які не лежать на одній прямій. Фігура, яка складається із трьох відрізків АВ, ВС, АС (рис. 25), називається трикутником ABC (позначається: Δ ABC). Трикутником також називають частину площини, обмежену відрізками АВ, ВС, АС (плоский трикутник). Точки А, В, С - вершини, відрізки АВ, ВС, АС - сторони трикутника. Сума довжин усіх сторін трикутника називається його периметром.Кутом (або внутрішнім кутом) трикутника ABC при вершині А називається кут, утворений променями АВ і АС. Аналогічно визначаються кути трикутника при вершинах В і С.
Кути CAB, ABC, ВСА трикутника ABC часто позначають однією буквою (А, В, С відповідно) або грецькими буквами α, β, γ (при цьому всередині кутів зображують дуги, див. рис. 25). Говорять, що кут А протилежний стороні ВС або сторона ВС протилежна куту А; аналогічно кут В і сторона АС, кут С і сторона ВА протилежні.
Кут, суміжний з будь-яким кутом трикутника, називається зовнішнім кутом цього трикутника. Наприклад, кут BCD (рис. 26) - зовнішній. При кожному куті трикутника можна побудувати по два зовнішніх кути (продовживши одну чи другу сторону кута). Ці два кути рівні як вертикальні.
Довільний трикутник має три бісектриси.
Відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною трикутника (рис. 28).
Перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону, називається висотою трикутника (рис. 29).
Якщо один із кутів трикутника прямий, то трикутник прямокутний (рис. 30, а); якщо один із кутів тупий - тупокутний (рис. 30, б); якщо всі три кути гострі - гострокутний (рис. 30, в).
Трикутник, дві сторони якого рівні, називається рівнобедреним (АС = ВС на рисунку 31, а). Третя сторона - основа, рівні сторони - бічні сторони.
Трикутник, три сторони якого рівні (АС = ВС = АВ на рис. 31, б), називається рівностороннім.
Розв'язання. Позначимо основу через х. Тоді периметр трикутника становитиме
звідки х = 20. Отже, основа дорівнює 20 м.
Приклад 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 70 м. Бічна сторона більша від основи на 5 м. Знайти сторони трикутника.
Розв'язання. Скористаємось рисунком 31, а. Позначимо АВ через х, тоді ВС = АС через х + 5.
Периметр трикутника становитиме
Приклад 3. Трикутник, периметр якого дорівнює 24 см, ділиться висотою на два трикутники, периметри яких дорівнюють 12 см і 20 см. Знайти висоту трикутника.
Розв'язання. Нехай умові задачі відповідає рисунок 29. Позначимо периметри трикутників АВС, АВН і АСН відповідно через Р, Р1 і Р2. З рисунка 29 видно, що
або
звідки АН = 4.
Ознаки рівності трикутників
Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. На рисунку 32 зображено рівні трикутники ABC і А1В1С1. Кожен із цих трикутників можна накласти на інший так, що вони повністю сумістяться, тобто попарно сумістяться їх вершини і сторони. Ясно, що при цьому сумістяться попарно і кути цих трикутників.
в рівних трикутниках проти відповідно рівних сторін (тобто тих, що суміщаються при накладанні) лежать рівні кути, і, навпаки, проти відповідно рівних кутів лежать рівні сторони.
Так, наприклад, у рівних трикутниках ABC і А1В1С1, зображених на рисунку 32, проти відповідно рівних сторін АВ і A1B1 лежать рівні кути С і С1. Рівність трикутників ABC і А1В1С1 позначають: Δ АВС = Δ А1В1С1.
Рівність двох трикутників можна встановити, порівнюючи деякі їх елементи.
ТЕОРЕМА 1
Перша ознака рівності трикутників
Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення. Розглянемо трикутники АВС і А1В1С1, у яких АВ = A1B1, AC = А1С1, ∠A = ∠A1 (рис. 33). Доведемо, що Δ АВС = Δ А1В1С1.
Аналогічним методом накладання доводиться теорема 2.
